当最后一道题的最后一个符號落下，考试结束的铃声，如同终场哨声，宣告了这场长达九个小时的智力马拉松的终结。
整个考场，瞬间从极致的寂静，切换到了劫后余生的喧囂。
中国队的队员们在酒店的休息区集合，每个人的脸上都写满了疲惫，眼神中却又闪烁著一丝不確定的光芒。
“第六题……那根本不是人做的题。”罗耀龙第一个开口，声音里带著一丝虚脱，“我花了最后一个小时，连个像样的思路都没摸到。”
“我也是，”方博苦笑著摇头，“感觉像是撞上了一堵墙，连从哪儿下手都不知道。”
李振华教授走了过来，脸色平静，但眼神中却透著一丝不易察觉的紧张。他没有先问结果，而是先给队员们递上了水。
“都辛苦了。”他沉声说道，“现在，大家自己心里估个分，不用太精確，给我一个大概的范围。”
队员们开始小声地交流、核对答案。很快，一个初步的估算结果出来了。
除了徐辰，其他五名队员，前五道题的得分率都极高，基本都在30到35分之间。但在那道地狱级的第六题上，所有人都栽了跟头，估分普遍在0到2分之间。
所有人的目光，最后都聚焦到了徐辰身上。
“我应该……是满分。”徐辰的回答一如既往地平静，仿佛只是在陈述一件微不足道的小事。
这个答案，没有在队友中引起任何波澜。他们早已麻木了。
李振华点了点头，这个结果在他的预料之中。他转身离开了一会儿，显然是去动用他的人脉，打探其他强队的情况了。
十几分钟后，他回来了，脸色比之前更加凝重。
“情况……不太乐观。”他看著眼前的六位队员，一字一顿地说道，“我刚和美国队的教练聊了聊，他们的估分情况，和我们非常接近。林逸轩，也声称自己做出了第六题。其他队员的情况也和我们类似。”
他顿了顿，补充道：“也就是说，今年的团体总分第一，胜负，只在五五之数。最终的结果，可能只取决於阅卷组对第六题那道开放性极强的解法，给分的鬆紧程度。”
这个消息，让所有队员的心，都再次揪了起来。
“那……那其他队呢？”方博忍不住问道。
李教授的脸上，突然露出了一丝古怪的、想笑又不好意思笑的表情。
“我们的主要对手还是美国队。不过其他队我也问了，韩国队和日本队，估计平均比我们要低3到5分。”
他清了清嗓子，“我刚才还遇到了印度队的领队，顺便问了一下他们的估分情况。”
“他们怎么说？”眾人好奇地问。
“他们说，”李教授的嘴角，终於忍不住抽搐了一下，“他们六名队员，估分……全都是满分。”
“噗——”
中国队的队员们，先是一愣，隨即都忍不住笑了出来。
之前那紧张压抑的气氛，瞬间被这股来自恆河彼岸的“神秘自信”冲得烟消云散。
……
imo的正式成绩和最终排名，要等到第二天的闭幕式才会公布。
这中间的一天，是留给各国队员自由活动的时间。
主办方安排了去千叶市几个著名景点的旅游线路，但对於这群刚刚经歷过极限脑力消耗的少年来说，古老的寺庙和寧静的园林，显然没什么吸引力。
最终，大家还是早早地回到了酒店休息。
……
夜深人静，徐辰躺在酒店柔软的床上，却毫无睡意。
徐辰打开了系统面板，今天的第6题，確实有点东西。在完成了解答后，系统奖励了5点数学经验。
【当前数学等级：lv.1(40/500)】
对於现在的徐辰来说，能够提升数学经验点的试题越来越少了。
徐辰也总结出了一些规律，对於完全新的知识，系统会给与比较多的经验，但是重复学就不会加了。但是呢如果你想要继续深入学习，等级不够学起来又很吃力，经验涨的依旧很慢。所以，真正长经验应该还是要靠做任务。
之前在cmo结束后解开的许康樺老师的2道悬赏试题，还能拿到5个经验点，但是现在完成差不多同等级的，连1点经验点拿不到了。
【看来，许康樺老师那边新手村的任务，已经刷完了。】他心中暗道，【我是时候，去挑战更高级的副本了。】
他的目光，转向了那个被他收藏已久的、界面朴素的个人博客——金陵大学，孙智伟教授的主页。
孙智伟教授进行了一个简单的归类。
【第一类：整数的特殊表示与组合数论】
副本描述：研究整数能否用平方、冪、组合数等特殊形式表示。
典型任务：“三冪五冪猜想”（任意正整数n是否可以写成 a3+b3+c3+d?+e?的形式）、“1-3-5猜想”（每个正整数能否写成三个奇数平方之和）。
难度评级：两颗星
占比：约10%
第一类的猜想，大多与经典的“堆垒数论”相关，如拉格朗日四平方和定理、华林问题等。许多问题，可以利用已有的成熟理论框架进行攻击，甚至只需少量的计算即可验证。对徐辰而言，这里更像是一个“热身区”。
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【第二类区域：单位分数表示与整除性猜想】
副本描述：主要研究正有理数是否可以用不同素数的单位分数（如 1/p或 1/p2）之和来表示，或探討诸如∑(1/p?)的整数性与整除性。
典型任务：任意正有理数 r能否写成不同素数的 1/p2之和。
难度评级：三颗星
题目数量占比：约60%
第二类的猜想，核心在於“埃及分数”理论的推广和深化，与“解析数论”中的级数理论紧密相连。虽然大多数猜想已经在计算机上验证到数十亿甚至上万亿的范围，证明仍缺乏统一的理论，但庞大的实验数据，为研究者提供了明確的方向。
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【第三类区域：相邻（或交错）素数的和差表示】
副本描述：探索相邻或交错素数的加减组合能否產生任意整数。
典型任务：在长度不超过 n的连续素数段{p?，...， p?????}中，交错相加是否能得到任意正整数 m。
难度评级：四颗星
题目数量占比：约30%
第三类猜想，已经触及到了素数分布的“局部性质”，需要高阶的“组合数论”或“概率数论”方法。虽然可以在计算机上检验大量区间，但其內在规律如同混沌中的蝴蝶，难以捕捉，需要全新的理论框架。
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【第四类区域：第n个素数 p?的数值与组合性质】
副本描述：关注第 n个素数本身的数值特徵以及它们之间的代数或整除关係。
典型任务：对每个正整数 n，是否存在正整数 k使得 p?| p???+ k。
难度评级：五颗星
题目数量占比：约30%
第四类的猜想，直指整个数论领域最核心、最神秘的圣杯——素数的“全局规律”。每一个猜想的背后，都可能与“黎曼猜想”、“哥德巴赫猜想”这类世纪难题有著千丝万缕的联繫。迄今为止，只有零星的特例得到证明，整体上仍属人类数学智慧尚未征服的前沿难题。
……
他没有好高騖远，直接去挑战那些五星难度的猜想。
他深知，饭要一口一口吃，路要一步一步走。
他將目光，锁定在了难度最低的【第一类】问题上。
他从中选择了一道被孙教授本人標註了“悬赏300美元”的题目，作为自己踏入这片新大陆的“第一步”。
【猜想138：对於任何大於1的整数n，方程 4/n = 1/x + 1/y + 1/z必有正整数解(x， y， z)。】
这是一个在数论领域流传已久，看似简单却异常坚固的猜想。它属於“埃及分数”的范畴，要求將一个简单的有理数，分解为三个单位分数的和。无数数学家曾尝试攻克它，但一个完整的、普適性的证明，却迟迟未能出现。
【有意思，一个形式如此简洁的丟番图方程，竟然能成为一个悬而未决的猜想。】
徐辰的眼中，燃起了一丝挑战的火焰。
他铺开一张稿纸，开始了对这座未知高峰的攀登。
【第一步，尝试小数据和特殊情况。】
n=2: 4/2 = 2。1/1 + 1/2 + 1/2。有解。
n=3: 4/3 = 1/1 + 1/6 + 1/6。有解。
n=4: 4/4 = 1。1/2 + 1/3 + 1/6。有解。
n=5: 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20。有解。
【看起来，解总是存在的。那么，证明的关键，在於构造。】
他没有急於下结论，而是开始思考问题的核心。
【4/n = 1/x + 1/y + 1/z。这个方程的自由度太高了，三个未知数。必须想办法减少变量，或者找到它们之间的约束关係。】
【思路的核心，应该是根据 n的性质，来构造出对应的 x， y， z。】
突然，一道灵光闪过！
【是 n的同余性质！特別是模4的余数！】
一个在解决丟番图方程时，屡试不爽的强大武器，浮现在他的脑海中。
【任何整数n，根据模4的余数，都可以被分为四类：4k， 4k+1， 4k+2， 4k+3。】
【如果我能为每一类n，都找到一个通用的构造公式，那么问题不就解决了吗？！】
徐辰的精神为之一振，睡意全无。他感觉自己像一个工程师，不再是盲目地寻找一个特定的零件，而是开始设计一套能生產所有零件的“模具”！
【第一种情况：n = 4k。】
【4/n = 4/(4k)= 1/k。】
【1/k = 1/(2k)+ 1/(3k)+ 1/(6k)。】
【所以，x=2k， y=3k， z=6k。搞定！这一类最简单。】
【第二种情况：n = 4k+2 = 2(2k+1)。】
【4/n = 4/(2(2k+1))= 2/(2k+1)。】
【2/(2k+1)= 1/(2k+1)+ 1/(2k+1)。还差一个……】
【1/(2k+1)= 1/(2k+2)+ 1/((2k+1)(2k+2))。】
【所以，4/n = 1/(2k+1)+ 1/(2k+2)+ 1/((2k+1)(2k+2))。】
【令 x = 2k+1， y = 2k+2， z =(2k+1)(2k+2)。搞定！】
逻辑的链条，开始一环扣一环地被构建起来。前两种情况，他只用了不到半个小时，就轻鬆解决。
但当他开始处理第三种情况时，瓶颈出现了。
【第三种情况：n = 4k+3。】
他尝试了各种恆等变换，试图构造出通用的解，但每一次，构造出的分母中，都不可避免地会出现 k，导致解的普適性被破坏。
【这条路，走不通。或者说，简单的恆等变换，在这里失效了。】
他感到了焦灼。就像攀岩者，已经爬到了半山腰，却发现眼前是一片光滑的、找不到任何著力点的绝壁。
他放下笔，在房间里来回踱步，强迫自己跳出之前的思维定式。
【如果，从另一个角度看呢？】
【4/n =(4(k+1))/(n(k+1))=(4k+4)/(n(k+1))=(n+1)/(n(k+1))。】
【4/n = 1/(k+1)+ 1/(n(k+1))。】
【这个恆等式，是解决问题的关键！由 mordell在1969年提出！】
一个在数论歷史中闪耀的名字，浮现在他的脑海中！
【我一直在试图自己重新发明轮子！其实前人已经铺好了路！】
思路，瞬间豁然开朗！
他重新坐回桌前，眼神中爆发出前所未有的光芒。
他不再纠结於自己构造，而是直接站在了巨人的肩膀上！
【对於 n = 4k+3的情况：】
【利用恆等式 4/n = 1/((n+1)/4)+ 1/(n(n+1)/4)。】
【因为 n=4k+3，所以 n+1 = 4k+4 = 4(k+1)。】
【(n+1)/4 = k+1，是整数！所以 1/((n+1)/4)是一个单位分数！】
【令 x =(n+1)/4。】
【现在，只需要將 1/(n(n+1)/4)分解成两个单位分数之和。】
【1/a = 1/(a+1)+ 1/(a(a+1))。这是一个经典的分解！】
【所以，x =(n+1)/4，y = n(n+1)/4 + 1，z =(n(n+1)/4)*(n(n+1)/4 + 1)。】
【搞定！第三种情况，解决！】
只剩下最后，也是最难的一种情况：n = 4k+1。
他用同样的方法，將问题转化，但发现，无论如何，都无法避免地会出现更复杂的分数形式。
【我到底忽略了什么……】
他看著窗外城市的点点灯火，大脑放空。
突然，他想起了自己最初的验算。
n=5: 4/5 = 1/2 + 1/4 + 1/20。
【这里的 x， y， z之间，有什么关係？】
【如果，我能找到一个关於 n的线性同余方程组，它的解，恰好能导出 x， y， z呢？】
【中国剩余定理！】
一个古老而又强大的东方智慧，如同启明星，照亮了最后的黑暗！
他猛地冲回桌前，心臟狂跳。
他不再试图去“构造”一个通用的公式，而是去“证明”一个解的存在性！
【对於 n = 4k+1的情况，我们可以找到一个整数 t，使得 t*n+1是一个4的倍数，甚至是某个数的倍数……】
【不，思路更直接一点！我们可以找到两个整数 a， b，使得 an+1 = 4b。】
【根据裴蜀定理，只要 gcd(n， 4)= gcd(4k+1， 4)= 1，这样的 a， b就必然存在！】
【利用扩展欧几里得算法，可以找到这样一组 a， b。】
【然后，4/n = 4a/(an)= 4a/(4b-1)……这条路似乎更复杂了。】
他再次陷入沉思，但这一次，他感觉自己离真相只有一步之遥。
【回归方程本身：4xyz = n(xy+yz+zx)。】
【如果我能找到一个特殊的 x，让这个方程简化呢？】
【设 x = k*n。代入后……不行。】
【设 x =(n+a)/4。】
一个大胆的设想，在他脑中形成。
经过一番极其复杂的代数推演，利用模运算和二次剩余的性质，他最终將问题，锁定在了一个特定的同余方程上！
【……最终，可以证明，对於所有素数 n≡ 1 (mod 4)，总能找到满足条件的解。而对於合数，可以通过其素因子分解来构造解。】
当最后一个句號落下时，他长长地舒了一口气，一股难以言喻的、酣畅淋漓的快感，从心底涌起，传遍四肢百骸。
这种攻克未知猜想的喜悦，远比在考场上拿到满分，要来得更加纯粹，更加强烈！
他揉了揉有些酸涩的眼睛，下意识地看了一眼窗外。
窗外的天色，已经由漆黑，转为了鱼肚白，初升的朝阳，正將第一缕金色的光辉，洒向这座异国的城市。
天，已经亮了。